Question

设（为实常数）.

（1）当时，证明：

①不是奇函数；②是上的单调递减函数.

（2）设是奇函数，求与的值.

Answer

(1)见解析；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）①利用特殊值可证不是奇函数；②利用单调性的定义进行证明函数的单调性，经五步：取值，作差，化简，判断符号，下结论.（2）方法一：由代入化简得：

，这是关于的恒等式，所以；方法二：由算出与的值，然后进行检验，考虑到分母不能为0，注意分与两种情况进行讨论.

试题解析：（1）①当时，，

，

所以，不是奇函数； 2分

②设，则， 3分

5分

因为，所以，又因为，

所以 6分

所以，

所以是上的单调递减函数. 7分

（2）是奇函数时，，

即对任意实数成立，

化简整理得，这是关于的恒等式， 10分

所以所以或 . 12分

（2）另【解析】
若，则由，得； 8分

由，解得：； 9分

经检验符合题意. 10分

若，则由，得，

因为奇函数的定义域关于原点对称，

所以，所以， 11分

由，解得：；

经检验符合题意。

所以. 12分

考点：函数的奇偶性，单调性.