Question

定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．

（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；

（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．

（3）证明：，.

Answer

【解析】

试题分析：（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.

试题解析：（1）令，

令，则.

所以，在上是奇函数． 4分

（2）设，则

， 6分

而，， 7分

即当时，．

∴在上单调递减． 8分

（3）

，

，

.

. 13分

考点：函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.