Question

集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.

（1）试判断=及是否在集合A中，并说明理由；

（2）设A且定义域为0，，值域为0，1，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式，并给予证明.

Answer

（1），；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据题目给出的性质对函数与进行判断即可；（2）可以模仿（1）中的函数进行寻找，或者可以这么找，因为我们学了指数、对数、幂函数，而（1）中已经出现了对数函数与幂函数，所以是否可以考虑从指数函数中寻找．

试题解析：（1），. 2分

对于的证明. 任意且，

即. ∴ 4分

对于，举反例：当，时，

，

，

不满足. ∴. 7分

⑵函数，当时，值域为且. 9分

任取且，则

即. ∴. 14分

考点：1．函数性质；2．新定义型解答题；3．指数函数、对数函数、指数函数．