Question

已知函数．

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）当时，求函数的值域．

Answer

（1）奇函数，（2）.

【解析】

试题分析：（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.

试题解析：（1）∵，

， 4分

∴是奇函数． 5分

（2）令，则． 7分

∵，∴，∴，∴，

所以的值域是． 10分

考点：函数奇偶性，函数值域.