Question

已知函数是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

Answer

（1），（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有等量关系，本题难点在化简对数式，由易得，关键会化简，（2）本题第一个难点是化简方程，即，这里主要会化简从而再利用对数性质运算得：；第二个难点是“方程只有一个根”转化为“二次方程只有一个正根”，这需明确指数函数的范围，即；第三个难点是分类讨论二次方程只有一个正根的情形的等价条件.主要是两个不等根的情况讨论,需结合运用韦达定理.

试题解析：【解析】
（1）由题意知：任意有，

即恒成立．

∴恒成立，化简得对恒成立，∴． 5分

（2）∵函数与的图象有且只有一个公共点，

∴方程有且只有一个实根，

化简得：方程有且只有一个实根，

令，则方程有且只有一个正根. 7分

①当时，不合题意； 8分

②当时，

(ⅰ)若，则.

若，则不合题意；若，则合题意； 10分

(ⅱ)若即时，

由题意，方程有一个正根与一个负根，即，解得，∴. 12分

综上所述，实数的取值范围是. 13分

考点：偶函数性质应用，二次方程根的个数.