Question

设函数， 是定义域为的奇函数．

（Ⅰ）求的值，判断并证明当时，函数在上的单调性；

（Ⅱ）已知，函数，求的值域；

（Ⅲ）已知，若对于时恒成立.请求出最大的整数．

Answer

（Ⅰ），在R上为增函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整数为10.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由奇函数的性质得，由单调性的定义证明 在R上是增函数；

（Ⅱ）由可得，，由换元法令，将函数转化为二次函数求最值；（Ⅲ）时，原式可化为，令，由分离参数的方法得到，进而得到的取值范围.本题中用到换元法，换元之后应特别注意变元的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）是定义域为R上的奇函数， ，得．

，，即是R上的奇函数 2分

设，则，

，，， 在R上为增函数 5分

（Ⅱ），即，或（舍去）

则，令，

由（1）可知该函数在区间上为增函数，则

则 8分

当时，；当时，

所以的值域为 10分

（Ⅲ）由题意，即，在时恒成立

令，则

则恒成立

即为恒成立 13分

，恒成立，当时，

，则的最大整数为10 16分

考点：函数的奇偶性，单调性，换元法求函数的最值，用分离参数的方法求参数的取值范围.