Question

已知函数，.

（Ⅰ）已知，若，求的值；

（Ⅱ）设，当时，求在上的最小值；

（Ⅲ）求函数在区间上的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，最小值为；（Ⅲ）当时，在上的最大值为0；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将函数去掉绝对值写成分段函数形式，结合函数图像满足的只可能为，从而，，由即可得；（Ⅱ）写出的表达式，根据分段函数的性质，先求出每一段上的最小值，其中最小的即为 的最小值；（Ⅲ）将写成分段函数的形式，每一段均为二次函数的形式，结合二次函数图像，分类讨论函数的对称轴与区间的关系，从而求出最大值.

试题解析：（Ⅰ）

由图像可知，

即为，所以 3分

（Ⅱ），则，

当时，，即为，解得

当时，，即为，解得

当时，最小值为

（本问也可直接利用图像说明理由求解） 6分

（Ⅲ）

①记，结合图像可知，

当，即时，

当，即时， 8分

②记，结合图像可知，

当，即时，

当，即时，

当，即时，

③记，结合图像可知，

当，即时，

当，即时， 10分

由上讨论可知：

当时，

当时，

当时，

当时，

当时， 15分

综上所述：当时，在上的最大值为0

当时，在上的最大值为

当时，在上的最大值为. 16分

考点：分段函数的解析式求法，数形结合思想，分类讨论思想.