Question

对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.

(1) 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；

(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对；

(3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时,,若当时,都有,试求的取值范围.

Answer

(1) 不是“()型函数”，理由详见解析；(2) （答案不唯一）（3）

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由给出的定义可知 展开后的方程中如果不含x说明对任意x都成立，则函数是“()型函数” ，如果展开后的方程含x,则根据方程只能求出某个或某些x满足要求而不是每一个x都符合，则函数不是“()型函数(Ⅱ)根据定义列出方程 ，满足方程的实数对应有无数对，只取其中一对就可以。(Ⅲ)难度系数较大，应先根据题意分析出当时, ，此时 。根据已知时,,其对称轴方程为。属动轴定区间问题需分类讨论，在每类中得出时的值域即的值域，从而得出时的值域，把两个值域取并集即为的的值域，由可知的值域是的子集，列出关于m的不等式即可求解。

试题解析：【解析】
(1) 不是“()型函数”，因为不存在实数对使得，

即对定义域中的每一个都成立；

(2) 由,得,所以存在实数对,

如,使得对任意的都成立；

(3)由题意得,,所以当时, ,其中,而时,,其对称轴方程为.

当,即时,在上的值域为,即,则在上 的值域为,由题意得,从而；

当,即时,的值域为,即,则在 上的值域为,则由题意,得

且,解得；

当,即时,的值域为,即,则在上的值域为,即,则,解得.

综上所述,所求的取值范围是.

考点：对新概念的理解能力，以及动轴定区间求二次函数的值域问题。