Question

已知函数且的图象经过点．

（1）求函数的解析式；

（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；

（3）解不等式：．

Answer

（1），（2）详见解析，（3）或.

【解析】

试题分析：（1）求函数的解析式,只需确定的值即可，由函数且的图象经过点，得，再由得，（2）用函数单调性的定义证明单调性，一设上的任意两个值，二作差，三因式分解确定符号，（3）解不等式，一可代入解析式，转化为解对数不等式，需注意不等号方向及真数大于零隐含条件，二利用函数单调性，去“”，注意定义域.

试题解析：（1），解得： ∵ 且∴； 3分

（2）设、为上的任意两个值，且，则

6分

，在区间上单调递减． 8分

（3）方法（一）：

由，解得：，即函数的定义域为； 10分

先研究函数在上的单调性．

可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减，证明过程略．

或设、为上的任意两个值，且，

由（2）得： ，即

在区间上单调递减． 12分

再利用函数的单调性解不等式：

且在上为单调减函数．， 13分

即，解得：

． 15分

方法（二）： 10分

由得：或；由得：， 13分

． 15分

考点：函数解析式，函数单调性定义，解不等式.