Question

已知函数，．

（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1）奇函数，（2），(3)

【解析】

试题分析：（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数 是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究 单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数 满足的条件： ，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.

试题解析：（1）函数为奇函数．[来

当时，，，∴

∴函数为奇函数； 3分

（2），当时，的对称轴为：；

当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数； 7分

（3）方程的解即为方程的解．

①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； 9分

②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．

设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调增

∴∴； 12分

③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；

即，∵∴，设

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调减∴

∴； 15分

综上：． 16分

考点：函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.