Question

已知二次函数满足，且。

（1）求的解析式；

（2）当时，方程有解，求实数的取值范围；

（3）设，,求的最大值.

Answer

【解析】

试题分析：（1）设出二次函数的一般形式后，代入，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出及的值，即可确定出的解析式；

（2）不等式有解即为把不等式变为有解，令，求出在区间上的值域，即可得到的取值范围，

（3）把代入的解析式中即可表示出的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出的对称轴，根据对称轴大于等于和小于，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到的最大值，并求出相应的范围，联立即可得到最大值与的分段函数解析式．

试题解析：【解析】
（1）设

代入和

并化简得，

（2）当时，方程有解

即方程在上有解

令，则的值域是

故的取值范围是

（3）

对称轴是。

①当时，即时

；

② 当时，即时，

综上所述：。

考点：考查函数的解析式，二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．