Question

已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值

（2）判断并证明的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

【解析】

试题分析：

（1）由题意可得函数的定义域是是奇函数，把,代入可得的值．

（2）直接利用函数单调性的定义进行判断,判断单调性的解题过程为做差,变形,判断符号,结论.

（3）由（1）可得在它的定义域是是减函数，且是奇函数，不等式化为,可得 ，分和两种情况分别求出实数的取值范围

试题解析：(1) 由得

检验: 时,

对恒成立,即是奇函数.

(2)判断:单调递增

证明:设则

即

又即，即，即

在上是增函数

(3)是奇函数

不等式

在上是增函数

对任意的，不等式恒成立

即对任意的恒成立

即对任意的恒成立

第一类:当时,不等式即为恒成立,合题意;

第二类:当时,有即

综上:实数的取值范围为

考点：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，函数的恒成立问题,考查了分类讨论的数学思想.