Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点.

（1）若的中点为，,

求证：平面；

（2）如果,,求此圆锥的全面积.

Answer

（1）参考解析；（2）（4+4）π

【解析】

试题分析：（1）要证明平面.已经有OH⊥SC，所以只要在平面SQB中再找一条直线与OH垂直即可，所以线线垂直要转化为线面垂直，通过连接OC，又因为OB=OQ，C为QB的中点，即可证明直线BQ⊥平面SOC.从而可得QB⊥OH.从而可得结论.

（2）因为圆锥的全面积等于底面积加上圆锥的侧面积.所以重点是要解决底面圆的半径，由题意在三角形OQB中，利用余弦定理可解得圆的半径.又因为三角形SAB是等腰直角三角形，所以可求出母线SB的长.从而根据圆锥的侧面积公式可得侧面积，从而可求得圆锥的全面积.

试题解析：①连接OC，

∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB 2分

∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ

∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC

∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分

∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，

∴OH⊥平面SBQ； 6分

②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4 8分

∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，

∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，

因此，圆锥的侧面积为S侧=π×2×2=4π 10分

∴此圆锥的全面积为S侧+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分

考点：1.线面垂直的判定.2.解三角形的知识.3.圆锥的全面积.