Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.

已知函数，.

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）-1;（2）;（3）

【解析】

试题分析：（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.

（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.

（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.

试题解析：（1）因为函数为奇函数，

所以，即，

即，得，而当时不合题意，故. 4分

（2）由（1）得：，

下面证明函数在区间上单调递增，

证明略. 6分

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的值域为，

所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分

（3）由题意知，在上恒成立.

，.

在上恒成立.

10分

设，，，由得,

设，，

,

所以在上递减，在上递增， 12分

在上的最大值为，在上的最小值为 .

所以实数的取值范围为. 14分

考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.