Question

注：此题选A题考生做①②小题，选B题考生做①②③小题.

已知圆C：，直线.

①求证：对任意，直线与圆C总有两个不同的交点；
②当m=1时，直线与圆C交于M、N两点，求弦长|MN|；
③设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角.

Answer

①见解析；②；③

【解析】

试题分析：①法一：证明用点到直线的距离恒小于圆的半径，（此法计算量较大，故通常不选用此方法）。法二：证直线恒过定点，且此顶点在圆内。②根据圆心和弦中点的连线垂直平分弦，应先求圆心到直线的距离再用勾股定理求弦长。③根据弦长可求圆心到直线的距离，即可求出直线的斜率，根据斜率可求得倾斜角。

试题解析：【解析】
①∵直线恒过点，又∵点在圆C：

内，∴对，直线与圆C总有两个不同的交点。（A：7分，B：5分）

②当m=1时，直线；圆心C(0,1)到直线的距离等于，又∵圆C的半径为，∴弦长|MN| ；（A：14分，B：9分）

③∵，∴，又∵圆C的半径为，∴圆心C(0,1)到直线的距离等于，∴,∴,∴,∴直线的倾斜角为。（B：14分）

考点：直线过定点问题，点到直线的距离公式，圆的弦长。