Question

已知函数和函数，其中为参数，且满足.

（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；

（2）若方程在上有唯一解，求实数的取值范围；

（3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）的单调增区间为，，单调减区间为；（2）或；（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，由二次函数的图像与性质可写出函数的单调区间；（2）先将在上有唯一解转化为在上有唯一解，进而两边平方得到或，要使时，有唯一解，则只须或即可，问题得以解决；（3）对任意，存在，使得成立的意思就是的值域应是的值域的子集，然后分别针对与两种情形进行讨论求解，最后将这两种情况求解出的的取值范围取并集即可.

试题解析：（1）时， 1分

函数的单调增区间为，，单调减区间为 4分

（2）由在上有唯一解

得在上有唯一解 5分

即，解得或 6分

由题意知或

即或

综上，的取值范围是或 8分

（3）

则的值域应是的值域的子集 9分

①时，在上单调递减，上单调递增，故 10分

在上单调递增，故 11分

所以，即 12分

②当时，在上单调递减，故

在上单调递减，上单调递增，故

所以，解得.又，所以 13分

综上，的取值范围是 14分.

考点：1.二次函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.函数的单调性与最值.