Question

已知函数．

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明．

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数．

Answer

(1)单调递减函数；（2）；（3）当或时，有1个零点．当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点．

【解析】

试题分析：（1）先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性判定，再用定义证明；（2）将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则m的范围就是m大于的最大值；（3）将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.

试题解析：（1）当，且时，是单调递减的． 1分

证明：设，则

3分

又，所以，，

所以

所以，即，

故当时，在上单调递减的． 4分

（2）由得，

变形为，即

而，

当即时，

所以． 9分

（3）由可得，变为

令

作的图像及直线，由图像可得：

当或时，有1个零点．

当或或时，有2个零点；

当或时，有3个零点． 14分

考点：1.函数奇偶性的判定；2.不等式恒成立问题；3.函数零点；4.数形结合思想.