Question

已知的图象关于坐标原点对称。

(1)求的值，并求出函数的零点；

(2)若函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；

(3)设，已知的反函数=，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值。

Answer

（1）F(x)的零点为x=1；（2）2≤b≤7；（3）满足条件的最小整数k的值是8

【解析】

试题分析：（1）根据函数的图象关于原点对称，可得f（x）是定义在R的奇函数，图象必过原点，即f（0）=0，求出a的值，求出函数F（x）的解析式，解指数方程求求出函数的零点；

（2）函数在[0，1]内存在零点，方程（2x）2+2x+1-1-b=0在[0，1]内有解，分析函数b=（2x）2+2x+1-1在[0，1]内的单调性，及端点的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论；

（3）由不等式f-1（x）≤g（x）在上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的k的范围，进而求出最小整数k的值．

试题解析：（1）由题意知f(x)是R上的奇函数，

即F(x)的零点为x=1. 4分

（2）

由题设知h(x)=0在[0,1]内有解，

在[0，1]内存在零点 8分

（3）

显然

14分

考点：函数的性质的综合应用.