Question

已知,函数.

（Ｉ）证明：函数在上单调递增；

（Ⅱ）求函数的零点．

Answer

（Ｉ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；

【解析】

试题分析：（Ｉ）先在上任取两变量，设，再对作差变形化简，判断大小确定单调性．
（Ⅱ）要求函数f（x）的零点，即求方程f（x）=0的根，对和分情况求解，其中当时，令, 即，对此方程中参数a对根的情况进行讨论求解.

试题解析： (1)证明:在上任取两个实数,且,

则． 2分

∵, ∴．

∴, 即. ∴．

∴函数在上单调递增． 4分[K]

(2) (ⅰ)当时, 令, 即, 解得.

∴是函数的一个零点． 6分

（ⅱ）当时, 令, 即．(※)

①当时, 由(※)得,∴是函数的一个零点； 8分

②当时, 方程(※)无解；

③当时, 由(※)得,(不合题意,舍去) 10分

综上, 当时, 函数的零点是和；

当时, 函数的零点是． 12分

考点：1.函数单调性的判断与证明；2.分段函数的解析式求法及其图象的作法；3.函数的零点．