Question

已知函数.

（Ⅰ）当，函数有且仅有一个零点，且时，求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由可求出的值，然后将有且仅有一个零点，且，转化函数的图像与直线有且只有一个交点，最后根据图像可得出的值；（2）针对进行分类：、、并结合双勾函数的单调性可求得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） ，得， 3分

，作出该函数的图像

函数有且仅有一个零点，且

由图像可知，函数的图像与直线有且只有一个交点，且交点的横坐标为 6分

8分

（Ⅱ）若，则函数在区间上单调递增，满足题意；

若，则，也满足题意； 10分

若，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则要满足函数在区间上为单调函数，则或，

得或 14分

所以，综上所述，得，的取值范围是或 16分.

考点：1.函数的零点；2.函数的单调性；3.分类讨论的思想.