Question

已知函数.

（Ⅰ）若函数为偶函数，求的值；

（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间；

（Ⅲ）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）据偶函数定义,得到,平方后可根据对应系数相等得到的值,也可将上式两边平方得恒成立,得的值；（2）当时，作出函数的图像，即可得到函数的单调递增区间；（3）先将不等式转化为，然后利用零点分段法（三段：（））去掉绝对值,在每段上分别求解不等式的恒成立问题，可得出各段不等式恒成立时参数的取值范围，注意在后一段时可考虑结合前一段的参数的取值范围进行求解，避免不必要的分类，最后对三段求出的的取值范围取交集可得参数的取值范围.

试题解析：(1)解法一：任取，则恒成立

即恒成立 3分

∴恒成立，两边平方得：

∴ 5分

(1)解法二(特殊值法)：因为函数为偶函数，所以，得，得： （酌情给分）

(2)若，则 8分

作出函数的图像

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及 10分

(3)不等式化为

即： (*)对任意的恒成立

因为，所以分如下情况讨论：

①时，不等式(*)化为

即对任意的恒成立，

因为函数在区间上单调递增，则只需即可，得，又

∴ 12分

②时，不等式(*)化为，

即对任意的恒成立，

由①，，知：函数在区间上单调递减，则只需即可，即，得或

因为所以，由①得 14分

③时，不等式(*)化为

即对任意的恒成立，

因为函数在区间上单调递增，则只需即可，

即，得或，由②得

综上所述得，的取值范围是 16分.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数性质的综合应用；4.分类讨论思想.