Question

已知函数 ．

（1）判断函数在的单调性并用定义证明；

（2）令，求在区间的最大值的表达式．

Answer

（1）函数在递增；证明详见答案解析.

（2）当时，；当时，．

【解析】

试题分析：（1）先根据已知条件求出，再根据单调性的定义证明即可；

（2）由（1）先求出的表达式，再根据单调性求得各个区间的最大值，综上即可求出在区间的最大值的表达式．

试题解析：（1）在递增；

证明如下：

在区间上任取

则

而，所以，>0

所以，即函数在的单调递增；（6分）

（2）若，，在递增，，

若，）在递减，， （9分）

若，则 （11分）

当时，函数递增， ，

当时，函数递减，； （13分）

，当 时，，当时，

．

综上：时，，当时，． （15分）

考点：函数的单调性、分段函数求值域问题.