Question

设函数是定义域为的奇函数．

(1)求的值；

(2)若，且在上的最小值为，求的值.

(3)若，试讨论函数在上零点的个数情况。

Answer

(1) ;(2) (3) 当时在上有一个零点;当时在上无零点.

【解析】

试题分析：(1) 由奇函数的性质求,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等，如果0在奇函数的定义域内,则一定有,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求.

(2)由求出,代入得,换元,注意自变量的取值范围,每设出一个子母都要把它取的范围缩到最小以有利于解题, 所以得到得到一个新的函数,利用二次函数函数单调性求最值方法得到,二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处,遇到对称轴或区间含有待定的字母,则要按对称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论.

(3)由函数零点判定转化为二次方程根的判定,即在解个数情况,这个解起来比较麻烦,所以可以用函数单调性先来判定零点的个数,即在上为增函数,也就是在这个区间上是一一映射, 时的每个值方程只有一个解.

试题解析：

(1)为上的奇函数

即

(2)由(1)知

解得或(舍)

且在上递增

令则

所以令,且

因为的对称轴为

Ⅰ当时

解得(舍)

Ⅱ当时

解得

综上:

(3)由(2)可得:

令则

即求,零点个数情况

即求在解个数情况

由得,

所以在上为增函数

当时有最小值为

所以当时方程在上有一根,即函数有一个零点

当时方程在上无根,即函数无零点

综上所述:当时在上有一个零点

当时在上无零点.

考点：函数奇偶性,复合函数求最值,函数的零点.