Question

已知函数.

（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；

（2）若在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先利用二次函数的性质确定函数的单调递减区间为，故在单调递减，然后由定义域与值域列出等式关系，从而求解即可；（2）由（1）可知，初步确定的取值范围，然后确定时函数的最大值，从中求解不等式组即可；（3）将“对任意的，都存在，使得成立”转化为时，的值域包含了在的值域，然后进行分别求在的值域，从集合间的包含关系即可求出的取值范围.

试题解析：（1）∵

∴在上单调递减，又，∴在上单调递减，

∴，∴，∴ 4分

（2）∵在区间上是减函数，∴，∴

∴，

∴时，

又∵对任意的，都有，

∴，即，也就是

综上可知 8分

（3）∵在上递增，在上递减，

当时，，

∵对任意的，都存在，使得成立

∴

∴，所以 13分

考点：1.二次函数图像与性质；2.函数的单调性；3.函数与方程的问题.