Question

已知函数，且.

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；

（3）若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.

Answer

（1）函数在上为奇函数；（2）函数在上是增函数（3）实数的取值范围是

【解析】

试题分析：（1）由条件可求得函数解析式中的值，从而求出函数的解析式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过计算，与进行比较解析式之间的正负，从而判断的奇偶性；（2）由（1）可知函数的解析式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（3）由（1）可将函数解析式代入不等式可得，经未知数与待定数分离得，在区间上求出的最小值，从而确定实数的取值范围.

试题解析：（1）由得：

∴，其定义域为关于原点对称

又

∴函数在上为奇函数。 4分

（2）函数在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，

那么

即 ∴函数在上是增函数。 8分

（3）由，得

，在区间上，的最小值是，，得，

所以实数的取值范围是. 14分

考点：1.函数的概念、奇偶性、单调性、最值；2.不等式.