Question

湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元，为整数.

(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；

(2)当每纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润(元)最大，并求出最大值．

Answer

（1），定义域为

（2）当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元.

【解析】

试题分析：此题主要考查学生对函数模型在实际问题中应用的能力.（1）在此类问题中要注意单价与销售量之间的相关关系，同时要注意单价价格的取值范围，必要时要进行分段列式，再根据题意求解；（2）经审题实际问题是求函数的最大值，由（1）可知函数是分段函数，所以要在自变量的各区间中求出最大值，进行比较，从而求出函数的最大值，再还原回实际问题的解.

试题解析：（1）依题意

∴，

定义域为 6分

（2）∵，]

∴当时，则，(元)

当时，则或24，(元)

综上：当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元. 12分

考点：1.实际问题中的函数建模；2.分段函数的最值；3.二次函数的最值.