Question

已知函数，且.

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；

（3）若对任意实数，有成立，求的最小值.

Answer

（1）是奇函数；（2）在区间上单调递增；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由条件可求得函数解析式中的值，从而求出函数的解析式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过计算，与进行比较解析式之间的正负，从而判断的奇偶性；（2）由（1）可知函数的解析式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（3）综合（1）（2），根据函数的奇偶性、单调性，以及自变量的范围，分别求出函数在最大、最小值，从而得出式子最大值，求出实数的最小值.

试题解析：（1）即

函数定义域为关于原点对称

是奇函数 4分

（2）任取

则

在区间上单调递增 8分

（3）依题意只需

又

12分

考点：1.函数的概念、奇偶性、单调性、最值；2.不等式.