Question

若非零函数对任意实数均有，且当时

（1）求证：；

（2）求证：为R上的减函数；

（3）当时， 对时恒有，求实数的取值范围.

Answer

（1）证法一：即又

当时，

则

故对于恒有

证法二： 为非零函数

（2）证明：令且

有， 又 即

故 又

故为R上的减函数

（3）实数的取值范围为

【解析】

试题分析：（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.

试题解析：（1）证法一：即又

当时，

则

故对于恒有 4分

证法二： 为非零函数

（2）令且

有， 又 即

故 又

故为R上的减函数 8分

（3）故， 10分

则原不等式可变形为

依题意有 对恒成立

或或

故实数的取值范围为 13分

考点：1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.