Question

已知：以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为原点

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y=–2x+4与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程

Answer

(1)参考解析；(2)

【解析】

试题分析：(1)因为要证△OAB的面积为定值，关键是要求出A,B两点的坐标 根据圆的半径是即 所以可以写出圆C的方程 从而分别令 即可求得A,B两点的坐标 再根据 就即可证得结论

(2)因为直线y=–2x+4与圆C交于点M,N，若OM=ON 又因为 所以可得 由直线的斜率即可求得直线的斜率，从而得到直线的方程，在代入C (t,) 即可求得的值，再根据的值判断直线与圆的关系 从而确定圆的方程

试题解析：（1）因为圆C过原点O，

设圆的方程是 令得；令得 所以,即的面积为定值

（2）因为垂直平分线段 因为,所以直线的方程是 所以，解得或 当时，圆心的坐标为

此时到直线的距离，

圆与直线相交于两点 10分

当时，圆心的坐标为，，

此时到直线的距离

圆与直线不相交，

不符合题意舍去 11分

圆的方程为 13分

考点：1 圆的方程 2 直线与圆的方程 3 圆的对称性