Question

已知函数的周期为.

（1）若，求它的振幅、初相；

（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；

（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.

Answer

（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.

【解析】

试题分析：（1）先由辅助角公式化简，然后由周期为确定，可确定，从而可写出振幅、初相；（2）根据正弦函数的五点作图法进行作图即可；（3）将的零点问题，转化为直线与函数的图像交点的个数问题，结合（2）中作出的函数的图像，对直线的位置进行讨论，可得答案.

试题解析：（1）化为 1分

由得，即 2分

（1）函数的振幅是，初相为 4分

（2）列表

0

2

0

0

8分

（3）函数在的零点个数，即函数与函数的交点个数，由（2）图像知：

①当或时，函数无零点；

②当时，函数仅有一个零点；

③当或时，函数有两个零点；

④当时，函数有三个零点 12分.

考点：1.辅助角公式；2.三角函数的图像与性质；3.方程的解与函数的零点.