Question

设函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，.

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）用函数单调性的定义证明函数为增函数；

（4）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）奇函数；（3）详见解析；（4）.

【解析】

试题分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先说明函数的定义域关于原点对称，然后令得到，然后可化成，可判断函数为奇函数；（3）设，则，所以，从而利用单调性的定义证出函数在上为增函数；（4）先将不等式转化成，再由函数的单调递增性，又转化为，再分离参数得不等式，该不等式恒成立等价于，求出的最小值即可求出的取值范围.

试题解析：（1）取得， 2分

(2)函数为奇函数，理由如下：已知函数的定义域为

取代入，得，又，则

即为奇函数 5分

（3）证明：设且，则

由知，，则

则函数为上的增函数 9分

（4）由恒成立，又即为奇函数

得：恒成立。又函数为R上的增函数

得恒成立 11分

即恒成立

设：

令，则，即，知时，

则，即实数的取值范围为 14分.

考点：1.抽象函数的问题；2.函数的奇偶性；3.函数的单调性.