Question

已知函数为奇函数.

（1）若，求函数的解析式；

（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；

（3）当时，求证：函数在上至多有一个零点.

Answer

（1）；（2） （3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由函数为奇函数,得恒成立,可求的值；

由，从而可得函数的解析式；

（2）当时，可判断其在区间上为单调函数，最大值为，要使不等式在上恒成立，只要不小于函数在区间区间上的最大值即可；

（3）当时，，要证在上至多有一个零点，

只要证在上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.

试题解析：解:（1）∵函数为奇函数，

∴，即，

∴， 2分

又，

∴

∴函数的解析式为. 4分

（2），.

∵函数在均单调递增，

∴函数在单调递增， 6分

∴当时，． 7分

∵不等式在上恒成立，

∴，

∴实数的最小值为． 9分

（3）证明：，

设，

11分

∵，

∴

∵，即，

∴，又，

∴，即

∴函数在单调递减， 13分

又，结合函数图像知函数在上至多有一个零点. 14分

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数的最值.