Question

已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)探究函数f(x)＝ax＋(a、b是正常数)在区间和上的单调性（只需写出结论，不要求证明）.并利用所得结论，求使方程f(x)－log₄m＝0有解的m的取值范围．

Answer

(1);

(2)函数f(x)＝ax＋ (a、b是正常数)在区间上为减函数，在区间上为增函数;.

【解析】

试题分析：(1)由已知函数的定义域为关于原点对称,又是偶函数,则可根据偶函数的定义(或者利用特殊值代入计算亦可,如),得到一个关于的方程,从而求出的值;(2)由函数在区间上为减函数,在区间上为增函数,结合是可知函数在区间上为单调递减函数,在区间上为单调递增函数.由题意知方程,即为方程,若使方程有解,则对数式的值要在函数的值域范围内,所以首先要求出函数的值域,对函数进行化归得,故原方程可化为,令,,则在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数的最小值为,即当,时函数的值,所以函数的值域为,从而可求出.

试题解析：(1)由函数f(x)是偶函数，可知．

∴.

即， 2分 ， 4分

∴对一切恒成立．∴. 5分

（注：利用解出，亦可得满分)

(2)结论：函数 (a、b是正常数)在区间上为减函数，

在区间上为增函数. 6分

由题意知，可先求的值域，． 8分

设，又设，则，由定理，知在单调递减，在单调递增，所以， 11分

∵为增函数，由题意，只须，即

故要使方程有解，的取值范围为. 13分

考点：1.偶函数;2.对数函数;3.函数;4.复合函数值域.