Question

已知函数是偶函数

（1）求k的值；

（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；

（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围

Answer

（1）；（2） ；(3)

【解析】

试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.

（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.

(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.

试题解析：（1）因为为偶函数，所以，

即对于任意恒成立.

于是恒成立,

而不恒为零，所以. 4分

（2）由题意知方程即方程无解.

令，则函数的图象与直线无交点.

因为，由，则，

所以的取值范围是 . 8分

（3）由题意知方程有且只有一个实数根．

令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.

若，则，不合题意, 舍去；

若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.

由或；但，不合题意，舍去；而；

若方程(*)的两根异号

综上所述，实数的取值范围是． 12分

考点：1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.