Question

已知圆:，过定点作斜率为1的直线交圆于、两点，为线段的中点.

（1）求的值；

（2）设为圆上异于、的一点，求△面积的最大值；

（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有 , 求的最小值，并求取最小值时点的坐标.

Answer

（1）2；（2）；（3）；．

【解析】

试题分析：（1）通过⊥求解的值；

（2）当为与垂直的直径，且与较远的直径端点时，△面积最大；

（3）通过△为直角三角形勾股定理列出关系式，然后通过进行转化，

找出点所在轨迹，然后利用点到直线的距离即可找到的最小值，进而求出点的坐标．

试题解析：（1）由题知圆心，又为线段的中点，∴⊥，

∴，即，∴．

（2）由（1）知圆的方程为，∴圆心，半径，

又直线的方程是，

∴圆心到直线的距离，．

当⊥时，△面积最大，．

（3）∵⊥，∴，

又，∴．

设，则有，整理得，即点在上，

∴的最小值即为的最小值，

由解得

∴满足条件的点坐标为．

考点：1.弦所在直线方程的求解；2.最值问题．