Question

经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝－2t＋200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）＝t＋30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．

（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

（2）求日销售额S的最大值．

Answer

（1）；（2）日销售额有最大值6400.

【解析】

试题分析：（1）商品的日销售额=销售量价格，即，因为前30天的价格与后20天的价格不同，故为一个分段函数；

（2）先分别求出两段函数的最大值，一段是二次函数可用配方法，结合定义域的范围，可知最大值在对称轴处取得，令一段是一次函数且为单调减函数，最大值在取得，要注意，再比较哪一个值最大，即为的最大值.

试题解析：（1）根据题意，得

（2）①当时，，

∴当时，的最大值为6400

②当时，为减函数，

∴当时，的最大值为6210．

∵6210＜6400，∴当时，日销售额有最大值6400．

考点：1、函数的实际应用；2、分段函数求最值；3、二次函数、一次函数求最值.