Question

已知且，函数，，记

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer

（1），0；（2）

【解析】

试题分析：（1）均有意义时，才有意义，即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出的定义域，函数的零点，即，整理得，对数相等时底数相同所以真数相等，得到，基础x即为函数的零点（2）即，，应分和两种情况讨论的单调性在求其值域。有分析可知在这两种情况下均为单调函数，所以的值域即为。解关于m的不等式即可求得m。所以本问的重点就是讨论单调性求其值域。

试题解析：（1）【解析】
（1）（且）

，解得，

所以函数的定义域为 2分

令，则（*）方程变为

，，即

解得， 3分

经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，

所以函数的零点为， 4分

（2）∵函数在定义域D上是增函数

∴①当时， 在定义域D上是增函数

②当时，函数在定义域D上是减函数 6分

问题等价于关于的方程在区间内仅有一解，

∴①当时，由（2）知，函数F（x）在上是增函数

∴∴只需 解得：或

∴②当时，由（2）知，函数F（x）在上是减函数

∴ ∴只需 解得： 10分

综上所述，当时：；当时，或（12分）

考点：对数函数的定义域，函数的零点，复合函数单调性