Question

已知函数（为常数），函数定义为：对每一个给定的实数，

（1）求证：当满足条件时，对于,；

（2）设是两个实数，满足，且，若，求函数在区间上的单调递增区间的长度之和.（闭区间的长度定义为）

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）由分析可知的解析式就是取中较小的一个。所以等价于，将此不等式转化成指数函数不等式，根据指数的运算法则，应将除过去用公式，再将不等式左边的2也化为以3为底的对数，依据的公式是。再根据指数函数的单调性解同底的对数不等式。最后根据绝对值不等式的性质放缩不等式，即可求解。（2）根据（1）中所证已知时，，图形关于对称，且在两侧单调性相反。若则为的中点。即可求得函数在区间上的单调递增区间的长度。当时，当时，当时，当时解图象交点的横坐标，根据图像得的解析式。再根据图像得增区间，再求增区间的长度。

试题解析：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，所以当时，

（2）分两种情形讨论

（i）当时，由（1）知（对所有实数）

则由及易知，

再由的单调性可知，

函数在区间上的单调增区间的长度

为（参见示意图1）

（ii）时，不妨设，则，于是

当时，有，从而；

当时，有

从而 ；

当时，，及，由方程

解得图象交点的横坐标为

⑴

显然，

这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上， （参见示意图2）

故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得

⑵

故由⑴、⑵得

综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。

考点：指数函数单调性，数形结合