Question

（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．

（1）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；

（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C

∴EN⊥侧面A1C

NF为EF在侧面A1C内的射影

在直角三角形CNF中，CN=1

则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂线定理可知EF⊥A1C

（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME

由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ

设∠FAC=α则0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故当α=45°时，tanθ达到最小值，

tanθ=，此时F与C1重合