Question

（2011•湖北）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n （n∈N^*，r∈R，r≠﹣1）．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer

（1）

（2）见解析

【解析】（1）由已知an+1=rSn，则an+2=rSn+1，两式相减得

an+2﹣an+1=r（Sn+1﹣Sn）=ran+1

即an+2=（r+1）an+1

又 a2=ra1=ra

∴当r=0时，数列{an}为：a，0，0，…；

当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴an≠0

由an+2=（r+1）an+1得数列{an}从第二项开始为等比数列

∴当n≥2时，an=r（r+1）n﹣2a

综上数列{an}的通项公式为

（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列，理由如下：

当r=0时，由（1）知，

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列；

当r≠0，r≠﹣1时

∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2，Sk+1=Sk+ak+1

若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，则2Sk=Sk+1+Sk+2

∴2Sk=2Sk+ak+2+2ak+1，即ak+2=﹣2ak+1

由（1）知，a2，a3，…，an，…的公比r+1=﹣2，于是

对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1=﹣2am，从而am+2=4am，

∴am+1+am+2=2am，即am+1，am，am+2成等差数列

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列．