Question

（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证

（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证

（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可

【解析】
（I）证明：连接BD，MO

在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，

所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO

因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM

所以PB∥平面ACM

（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC

（III）【解析】
取DO中点N，连接MN，AN

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，，所以，

∴，

在Rt△ANM中，==

即直线AM与平面ABCD所成的正切值为