Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．

Answer

（1）（2）+=1

【解析】

试题分析：（1）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；

（2）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．

【解析】
（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0） （c＞0）．

由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，

所以e=．

（2）由（1）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x﹣c）．

A，B的坐标满足方程组，

消y并整理得5x2﹣8xc=0，

解得x=0，x=，得方程组的解为，，

不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．

所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．

圆心（﹣1，）到直线PF2的距离d=，

因为d2+=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．

所以椭圆方程为+=1．