Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．

（1）求a₂，a₃的值

（2）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列

（3）设S_n为{a_n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N^*）

Answer

（1）a2=﹣ a3=8（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）推出bn的表达式，分别当n=1时，求出a2=﹣；当n=2时，解出a3=8；

（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{cn}是等比数列；

（3）求出S2n，a2n，S2n﹣1，a2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．

（1）【解析】
由bn=，（n∈N*）可得bn=

又bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，

当n=1时，a1+2a2=﹣1，可得由a1=2，a2=﹣；

当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；

（2）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①

2a2n+a2n+1=22n+1…②

②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1，即：cn=3×22n﹣1，于是

所以{cn}是等比数列．

（3）证明：

a1=2，由（2）知，当k∈N*且k≥2时，

a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）

=2+3（2+23+25+…+22k﹣3）=2+3×=22k﹣1，

故对任意的k∈N*，a2k﹣1=22k﹣1．

由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，

因此，

于是，．

故=

=

所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）

=

=

=n﹣

≤n﹣﹣=n﹣（n∈N*）