Question

（2011•山东）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．

（1）证明：AA₁⊥BD；

（2）证明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer

（1）见解析 （2）见解析

【解析】（1）∵D1D⊥平面ABCD，

∴D1D⊥BD．

又AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°，

△ABD 中，由余弦定理得

BD2=AD2+AB2﹣2AB•ADcos60°=3AD2，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD，又 AD∩DD1=D，∴BD⊥面ADD1A1．

由 AA1⊂面ADD1A1，

∴BD⊥AA1．

（2）证明：连接AC 和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的

中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，

故ECC1 A1 为平行四边形，∴CC1∥A1 E，而A1 E⊂平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD．