Question

（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的r．

Answer

（1）y=2π•， （0，2]

（2）

【解析】（1）由体积V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π•，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

当r3﹣=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=