Question

（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．

（1）求m²+k²的最小值；

（2）若|OG|²=|OD|∙|OE|，

（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）2 （2）见解析

【解析】（1）设y=kx+t（k＞0），

由题意，t＞0，由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，

由题意△＞0，

所以3k2+1＞t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=﹣，所以y1+y2=，

∵线段AB的中点为E，∴xE=，yE=，

此时kOE==﹣．

所以OE所在直线方程为y=﹣x，

又由题设知D（﹣3，m）．

令x=﹣3，得m=，即mk=1，

所以m2+k2≥2mk=2，

（2）（i）证明：由（1）知OD所在直线方程为y=﹣x，

将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣，），

又E（，），D（﹣3，），

由距离公式和t＞0，得

|OG|2=（﹣）2+（）2=，

|OD|=，

|OE|==．

由|OG|2=|OD|∙|OE|，

得t=k，

因此直线l的方程为y=k（x+1），

所以直线l恒过定点（﹣1，0）；

（ii）由（i）得G（﹣，），

若点B，G关于x轴对称，则B（﹣，﹣），

将点B坐标代入y=k（x+1），

整理得，

即6k4﹣7k2+1=0，解得k2=或k2=1，

验证知k2=时，不成立，故舍去

所以k2=1，又k＞0，故k=1，

此时B（﹣，﹣），G（﹣，）关于x轴对称，

又由（I）得x1=0，y1=1，所以点A（0，1），

由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），

因此d2+1=（d+）2+，解得d=﹣，

故△ABG的外接圆的半径为r==，

所以△ABG的外接圆方程为．