Question

（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{a_n}满足a₁=b，a_n=（n≥2）

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．

（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．

【解析】
（1）∵（n≥2），

∴（n≥2），

当b=1时，（n≥2），

∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，

∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，

当b＞0，且b≠1时，（n≥2），

即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，

∴=×=，即an=，

∴数列{an}的通项公式是

（2）证明：当b=1时，不等式显然成立

当b＞0，且b≠1时，an=，要证对于一切正整数n，2an≤bn+1+1，只需证2×≤bn+1+1，即证

∵

=

=（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）

=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）

=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]

≥bn（2+2+…+2）=2nbn

所以不等式成立，

综上所述，对于一切正整数n，有2an≤bn+1+1，