Question

（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．

（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；

（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）

【解析】

试题分析：（I） 利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．

（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．

【解析】
（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．

由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．

故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．

由此得，解得，

所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．

（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．

依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，

故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．

所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．

又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，

特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．

由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．

对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．

则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．

所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．

于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，

综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．