Question

（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A1、MA2M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x2+y2=a2，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），假设在C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a2，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值．

【解析】
（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），

当x≠±a时，由条件可得，

即mx2﹣y2=ma2（x≠±a），

又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2﹣y2=ma2．

当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=﹣1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；

当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x2+y2=a2，

当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），

对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a2，

的充要条件为

由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=，

当0＜≤a，即，或时，

存在点N，使S=|m|a2，

当，即，或时，不存在满足条件的点N．

当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），

可得=x02﹣（1+m）a2+y02=﹣ma2．

令=r1，||=r2，∠F1NF2=θ，

则由=r1r2cosθ=﹣ma2，可得r1r2=，

从而s=r1r2sinθ==﹣，于是由S=|m|a2，

可得﹣=|m|a2，即tanθ=，

综上可得：当m∈[，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=2；

当m∈（0，]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=﹣2；

当时，不存在满足条件的点N．