Question

（12分）（2011•重庆）设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0

（Ⅰ）求实数a，b的值

（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer

（Ⅰ）a=3 b=﹣12（Ⅱ）f（1）=﹣6

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b

（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．

【解析】
（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b

从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，

从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3

又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1

f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；

当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．